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Exercices 60

Exercices

Chemins

Ajouter des étoiles aux constellations suivantes de sorte à obtenir ok après exécution avec l'option -allow-unfinished-computation.

  1. -1 ok;

  2. -1; +2;

  3. -1 ok; -2 +3;

  4. -f(+g(X)) ok;

  5. +f(a) +f(b); +g(a); @+g(b) ok;

{{< details title="Solution" open=false >}}

  1. -1 ok; +1;

  2. -1; +2; +1 -2 ok;

  3. -1 ok; -2 +3; +1 +2; -3;

  4. -f(+g(X)) ok; +f(-g(a));

  5. +f(a) +f(b); +g(a); @+g(b) ok; -f(X) -g(X); {{< /details >}}

Altération de mémoire

Considérons la constellation suivante représentant des registres dans lesquels on peut stocker des données (ils sont tous initialisés à 0) :

' initialisation
+ia(0); +ib(0);

@-ra(X) +a(X); ' registre a
@-rb(X) +b(X); ' registre b

Pour chaque question, vous pouvez soit ajouter des étoiles à la constellation de départ ou modifier celles que vous avez ajoutées.

  1. Comment relier les étoiles d'initialisation de sorte à initialiser le registre a à 0 ?

{{< details title="Solution" open=false >}} En ajoutant l'étoile -ia(X) +ra(X); servant de pont entre le rayon +ia(0) et le rayon -ra(X). On peut vérifier que l'on a bien un transfert de la constante 0 vers +a(X) avec l'option -allow-unfinished-computation et qu'on obtient ainsi +a(0) dans la sortie. {{< /details >}}

  1. Comment afficher la valeur de a et ainsi obtenir a(0) en sortie ?

{{< details title="Solution" open=false >}} Il faut ajouter l'étoile -a(X) a(X); pour éviter l'effacement de l'étoile correspondant au registre a. {{< /details >}}

  1. Comment mettre à jour a à la valeur 1 ?

{{< details title="Solution" open=false >}} Il y a plusieurs manières de le faire en remplaçant l'étoile -ia(X) +ra(X) introduite précédemment :

  • court-circuiter avec +ra(1);
  • faire une succession de mise à jour avec l'étoile -ia(X) +ia1(1); -ia1(X) +ra(X);. {{< /details >}}
  1. Comment copier la valeur de a dans b et afficher b ?

{{< details title="Solution" open=false >}} On utilise la constellation -a(X) +rb(X); -b(X) b(X); permettant de rediriger la sortie +a(X) vers b (en plus de l'affichage de a). Et on ajoute une étoile d'affichage comme pour a. {{< /details >}}

  1. En utilisant une seule étoile, comment afficher mem(a(va) b(vb)) tel que va est la valeur de a et vb celle de b ?

{{< details title="Solution" open=false >}} On utilise l'étoile -a(X) -b(Y) c(va(X) vb(Y));. {{< /details >}}

Logique booléenne

On veut simuler des formules booléennes (plus précisément des circuits) par des constellations. Chaque question utilise le résultat de la question précédente.

  1. Ecrire une constellation calculant la négation de telle sorte à ce qu'elle produise 1 en sortie lorsqu'ajoutée à l'étoile @-not(0 X) X; et 0 lorsqu'ajoutée à @-not(1 X) X.

{{< details title="Solution" open=false >}}

+not(0 1); +not(1 0);

{{< /details >}}

  1. Comment afficher la table de vérité de la négation avec une seule étoile, de sorte à ce qu'on obtienne en sortie table_not(0 1); table_not(1 0); ?

{{< details title="Solution" open=false >}}

@-not(X Y) table_not(X Y);

{{< /details >}}

  1. Ecrire de deux manières différentes des constellations calculant la conjonction et la disjonction et afficher leur table de vérité de la même façon que pour la question précédente.

{{< details title="Solution" open=false >}}

+and(0 0 0); +and(0 1 0); +and(1 0 0); +and(1 1 1);
+or(0 0 0); +or(0 1 1); +or(1 0 1); +or(1 1 1);

+and2(0 X 0); +and2(1 X X);
+or2(0 X X); +or2(1 X 1);

@-and(X Y R) table_and(X Y R);
@-or(X Y R) table_or(X Y R);
@-and2(X Y R) table_and2(X Y R);
@-or2(X Y R) table_or2(X Y R);

{{< /details >}}

  1. Utiliser la disjonction et la négation pour afficher la table de vérité de l'implication sachant que X => Y = not(X) \/ Y.

{{< details title="Solution" open=false >}}

+not(0 1); +not(1 0);
+and(0 0 0); +and(0 1 0); +and(1 0 0); +and(1 1 1);
+or(0 0 0); +or(0 1 1); +or(1 0 1); +or(1 1 1);

+and2(0 X 0); +and2(1 X X);
+or2(0 X X); +or2(1 X 1);

-not(X Y) -or(Y Z R) +impl(X Z R);
-not(X Y) -or2(Y Z R) +impl2(X Z R);

@-impl(X Y R) table_impl(X Y R);
@-impl2(X Y R) table_impl2(X Y R);

{{< /details >}}

  1. Utiliser l'implication et la conjonction pour afficher la table de vérité de l'équivalence logique sachant que X <=> Y = (X => Y) /\ (X => Y).

{{< details title="Solution" open=false >}}

+not(0 1); +not(1 0);
+and(0 0 0); +and(0 1 0); +and(1 0 0); +and(1 1 1);
+or(0 0 0); +or(0 1 1); +or(1 0 1); +or(1 1 1);

+and2(0 X 0); +and2(1 X X);
+or2(0 X X); +or2(1 X 1);

-not(X Y) -or(Y Z R) +impl(X Z R);
-not(X Y) -or2(Y Z R) +impl2(X Z R);

-impl(X Y R1) -impl(Y X R2) -and(R1 R2 R) +eqq(X Y R);
-impl2(X Y R1) -impl2(Y X R2) -and2(R1 R2 R) +eqq2(X Y R);

@-eqq(X Y R) table_eqq(X Y R);
@-eqq2(X Y R) table_eqq2(X Y R);

{{< /details >}}

  1. Définir une constellation représentant la formule du tiers X \/ ~X. Afficher la table de vérité correspondant à cette formule.

{{< details title="Solution" open=false >}}

+not(0 1); +not(1 0);
+and(0 0 0); +and(0 1 0); +and(1 0 0); +and(1 1 1);
+or(0 0 0); +or(0 1 1); +or(1 0 1); +or(1 1 1);

'excluded middle
-not(X R1) -or(R1 X R2) +ex(X R2);

@-ex(X R) table_ex(X R);

{{< /details >}}

  1. Déterminer pour quelles valeurs de X, Y et Z la formule X /\ ~(Y \/ Z) est vraie.

{{< details title="Solution" open=false >}}

+not(0 1); +not(1 0);
+and(0 0 0); +and(0 1 0); +and(1 0 0); +and(1 1 1);
+or(0 0 0); +or(0 1 1); +or(1 0 1); +or(1 1 1);

' X /\ ~(Y \/ Z)
@-or(Y Z R1) -not(R1 R2) -and(X R2 1) x(X) y(Y) z(Z);

{{< /details >}}